Пирамида в развернутом виде для склеивания. Как сделать пирамиду из бумаги. Схема с размерами, пошаговая инструкция с фото. Развертка четырехугольной пирамиды

ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ О РАЗВЁРТЫВАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Будем рассматривать поверхность как гибкую нерастяжимую оболочку. В этом случае некоторые поверхности путём преобразования можно совместить с плоскостью без разрывов и складок . Поверхности, допускающие такое преобразование, называются развёртывающимися.

Фигура, получающаяся при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называется разверткой.

Построение развёрток имеет большое значение при конструировании изделий из листового материала (сосуды, трубопроводы, выкройки и т.д.).

Поверхности, развертывающиеся геометрически точно : многогранные, конические, торсы, цилиндрические.

Из кривых поверхностей, к числу развёртывающихся относятся те линейчатые поверхности (конические, цилиндрические, торсы), у которых касательная плоскость касается поверхности по её прямолинейной образующей.

Все остальные кривые поверхности относятся к числу не развертывающихся, но при необходимости можно построить их приближённые развёртки.

Для построения развёртки какой-либо криволинейной поверхности её разбивают на такие криволинейные участки, каждый из которых можно аппроксимировать некоторой плоской фигурой, которая требует для определения своей натуры только замеров .

Например:

· цилиндр разбивают на прямоугольники (рисунок 16-1а);

· прямой конус на равнобедренные треугольники (рисунок 16-1б);

· эллиптический цилиндр - на параллелограммы (рисунок 16-1в);

· эллиптический конус - на треугольники (рисунок 16-1г);

· сферу - на трапеции.

РАЗВЁРТКИ ПИРАМИДЫ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

В качестве примеров рассмотрим построение разверток только четырех поверхностей: пирамиды, конуса, призмы и цилиндра.

Развертка поверхности пирамиды

Развёртка такой поверхности представляет собой плоскую фигуру, которая получается совмещением всех её граней с одной плоскостью.

Пример 1 . Построить развёртку поверхности пирамиды АВСS (рисунок 16-2) и нанести на неё линиюМN.

Так как боковыми гранями пирамиды являются треугольники, то для построения развёртки необходимо найти натуральный вид этих треугольников, для чего следует определить истинные длины сторон - ребер пирамиды.

Основание пирамиды лежит в горизонтальной плоскости, следовательно, натуральная величина ребер АВ, ВС и АС уже имеется на чертеже.

Ребро SA является фронталью, поэтому на виде спереди оно изображается в натуральную величину.

Натуру ребер SВ и SС определяем способом прямоугольного треугольника. Одним катетом его является превышение точки S над точками В и С, а вторым - вид сверху ребер SВ и SС.

Затем по трём сторонам строим последовательно все боковые грани пирамиды.

Для нанесения на развёртку линии МN вначале определим истинную величину отрезков AM и В1 и отложим их на развёртке на соответствующих ребрах.

Чтобы нанести точку М, проведём на грани SВС прямую S2 и найдём её положение на развёртке, отложив отрезок В2 (замеренный на виде сверху) на стороне ВC. Затем на виде спереди проведём через точку 4 отрезок 3-4, параллельный ребру ВС и найдём его положение на развёртке, для чего отложим отрезок C4 на стороне SС и через полученную точку проведём прямую 3-4 параллельную ребру ВС. На пересечении прямых S-2 и 3-4 найдём точку N. Соединив полученные точки М, 1, N получим искомую линию.

Пирамида является символьным предметом. Издревле считалось, что она способна гармонизировать окружающий мир человека, которому она подарена, а также представляет собой наиболее правильную форму бытия. Недаром египетские пирамиды сохранились до сих пор в неизменном виде.

Картонные пирамиды: как склеить пирамиду из картона?

Пирамида из картона своими руками может быть создана по следующей схеме:

На белом листе бумаги рисуем квадрат и четыре треугольника.
Например, высота треугольника может составить 26,5 см, а ширина, как и грань квадрата 14,5 см.
Берем ножницы и вырезаем все части пирамиды, оставляя при этом небольшой отступ для нахлеста.
Складываем все детали вместе и промазываем клеем. Даем высохнуть.
После того, как пирамида высохла, можно взять акриловые краски или цветные карандаши и раскрасить получившуюся пирамидку.

Пирамида в пропорциях «золотого сечения»

Можно попробовать создать пирамиду, основываясь на математических знаниях:

Величина пирамиды в соответствии с «золотым сечением» составляет 7, 23 см. Из геометрии мы помним, что коэффициент золотого сечения составляет 1,618.
Умножаем коэффициент на имеющуюся величину 723 мм, получаем 117 мм. Такой должна быть длина основания у самой пирамиды. Высота при этом составляет 72 мм.
В соответствии с теоремой Пифагора считаем размер граней треугольников пирамиды. В результате пирамида должна иметь длину 117 мм.
Если умножить 117 на 117, то можно получить квадрат основания, который нужен для того, чтобы пирамида не была пустой.
Чертим на картоне все детали, вырезаем.
Соединяем грани треугольников.
При присоединении последнего треугольника необходимо предварительно поднять конструкцию в вертикальной плоскости, после чего приклеить оставшийся треугольник.
Углы пирамиды должны быть проклеены ровно и аккуратно, так как это обеспечит ее устойчивость.

Если у пирамиды запланировано наличие дна, то оно приклеиваются в самом конце после того, как все грани треугольников соединены между собой и высохли.

Можно попробовать сделать большую пирамиду, используя для ее создания коробку от холодильника.

Как сделать пирамиду из картона для подарка?

Мы уже предлагали некоторые варианты , теперь предлагаем вам сделать и в виде пирамиды. Для того чтобы сделать пирамиду в домашних условиях, необходимо подготовить следующие материалы:

ножницы;
степлер;
4 квадрата картона небольшого размера;
скотч;
тонкая ленточка;
простой карандаш.

Берем 4 квадратных картона, один откладываем сразу в сторону, на остальных квадратах рисуем простым карандашом треугольники, затем вырезаем их.
Необходимо вырезать четыре треугольника.
Прикладываем к каждой стороне квадрата по одному треугольнику самой короткой частью.
Приклеиваем скотчем треугольник к основанию квадрата.
Берем в руки три треугольника, и склеиваем их стороны между собой таким образом, чтобы внутри получился «домик». При этом один из треугольников не приклеиваем. Его необходимо специально оставить открытым, чтобы можно было что-либо положить внутрь пирамиды.

Более просто легко сделать пирамиду маленького размера, если предварительно распечатать на бумаге развертку пирамиды.

Затем с помощью линейки необходимо согнуть пирамиду по краям. Линейка позволит сохранить грани ровными.

Другой вариант создания пирамиды представлен на следующем рисунке: распечатав шаблон, нужно согнуть по линиям пирамиду, намазав затем клеем поверхность склейки. Создание такой пирамиды займет буквально пару минут.

Если расположить пирамиду в комнате в определенной зоне, то она способна оказывать положительное воздействие на жизнь человека, проживающего в комнате. Так, например, если пирамиду расположить в восточной части комнаты, то это поможет улучшить здоровье, на юге и юго-востоке – обрести финансовое благополучие, на западе – служит оберегом для детей, на юго-западе – улучшит .

Прямоугольник, квадрат, треугольник, трапеция и другие - геометрические фигуры из раздела точной науки. Пирамида - это многогранник. Основанием этой фигуры является многоугольник, а боковыми гранями треугольники, имеющие общую вершину, или трапеции. Для полного представления и изучения любого геометрического объекта изготавливают макеты. Используют самый разнообразный материал, из которого выполняется пирамида. Поверхность многогранной фигуры, развернутая на плоскости, называется ее разверткой. Создать макет поможет метод преобразования плоских предметов в объемные многогранники и определенные знания из геометрии. Развертки из бумаги или картона изготовить непросто. Потребуется умение выполнять чертежи по заданным размерам.

Материалы и приспособления

Моделирование и выполнение многогранных объемных геометрических фигур - интересный и захватывающий процесс. Из бумаги можно выполнить большое количество всевозможных макетов. Для работы будут необходимы:

бумага или картон;
ножницы;
карандаш;
линейка;
циркуль;
ластик;
клей.

Определение параметров

Прежде всего определим, какой будет пирамида. Развертка данной фигуры является основой для изготовления объемной фигуры. Выполнение работы потребует предельной точности. При неправильном чертеже геометрическую фигуру собрать будет невозможно. Допустим, необходимо изготовить макет правильной

Любое геометрическое тело обладает определенными свойствами. Данная фигура имеет основанием а ее вершина спроецирована в его центр. В качестве основания выбран Данное условие определяет название. Боковые ребра у пирамиды - это треугольники, количество которых зависит от выбранного для основания многогранника. В данном случае их будет три. Также важно знать размеры всех составных частей, из которых будет составлена пирамида. Развертки из бумаги выполняются в соответствии с учетом всех данных геометрической фигуры. Параметры будущей модели оговариваются заранее. От этих данных зависит выбор используемого материала.

Как выполняется развертка правильной пирамиды?

Основой модели является лист бумаги или картона. Работу начинают с чертежа пирамиды. Фигура представляется в развернутом виде. Плоское изображение на бумаге соответствует заранее выбранным размерам и параметрам. имеет основанием правильный многоугольник, а высота проходит через его центр. Изготавливаем для начала простую модель. В данном случае - это треугольная пирамида. Определяем размеры выбранной фигуры.

Чтобы построить развертку пирамиды, основанием которой является правильный треугольник, в центре листа, используя линейку и карандаш, нарисуем основание заданных размеров. Далее к каждой его стороне вычерчиваем боковые грани пирамиды - треугольники. Теперь переходим к их построению. Размеры сторон треугольников боковой поверхности измеряем циркулем. Ножку циркуля ставим в вершину нарисованного основания и делаем засечку. Действие повторяем, перемещаясь в следующую точку треугольника. Пересечение, полученное в результате таких действий, определит вершины боковых граней пирамиды. Их соединяем с основанием. Получаем чертеж пирамиды. Для склеивания объемной фигуры на сторонах боковых граней предусматривают клапаны. Дорисовываем небольшие трапеции.

Сборка макета

Вырезаем ножницами выполненный рисунок по контуру. Аккуратно сгибаем развертку по всем линиям. Клапаны-трапеции заправляем внутрь фигуры таким образом, чтобы ее грани сомкнулись. Их смазываем клеем. Через тридцать минут клей высохнет. Объемная фигура готова.

Сначала представим, как выглядит геометрическая фигура, макет которой будем изготавливать. Основанием выбранной пирамиды является четырехугольник. Боковые ребра - треугольники. Для работы используем те же материалы и приспособления, что и в предыдущем варианте. Чертеж выполняем на бумаге карандашом. В центре листа чертим четырехугольник с выбранными параметрами.

Каждую сторону основания делим пополам. Проводим перпендикуляр, который будет являться высотой треугольной грани. Раствором циркуля, равным длине боковой грани пирамиды, делаем на перпендикулярах засечки, установив его ножку в вершину основания. Оба угла одной стороны основания соединяем с полученной точкой на перпендикуляре. В результате получаем в центре чертежа квадрат, на гранях которого нарисованы треугольники. Чтобы зафиксировать модель на боковых гранях, дорисовывают вспомогательные клапаны. Для надежного крепления достаточно полоски сантиметровой ширины. Пирамида готова к сборке.

Завершающий этап выполнения макета

Полученную выкройку фигуры вырезаем по контуру. По начерченным линиям сгибаем бумагу. Сбор объемной фигуры производят путем склеивания. Предусмотренные клапаны смазываем клеем и фиксируем полученную модель.

Объемные макеты сложных фигур

После выполнения простой модели многогранника можно перейти к более сложным геометрическим фигурам. Развертка пирамиды усеченной намного сложнее в выполнении. Ее основаниями являются подобные многогранники. Боковые грани - это трапеции. Последовательность выполнения работы будет такой же, как та, в которой изготавливалась простая пирамида. Развертка будет более громоздкой. Для выполнения чертежа используют карандаш, циркуль и линейку.

Построение чертежа

Развертка пирамиды усеченной выполняется в несколько этапов. Боковой гранью усеченной пирамиды является трапеция, а основаниями - подобные многогранники. Допустим, что это квадраты. На листе бумаги выполняем чертеж трапеции с заданными размерами. Боковые стороны полученной фигуры продлеваем до пересечения. В результате получаем равнобедренный треугольник. Его сторону измеряем циркулем. На отдельном листе бумаги строим которой будет измеренное расстояние.

Следующий этап - это построение боковых ребер, которые имеет усеченная пирамида. Развертка выполняется внутри нарисованной окружности. Циркулем измеряют нижнее основание трапеции. На окружности отмечаем пять точек, которые соединяют линии с ее центром. Получаем четыре равнобедренных треугольника. Циркулем измеряем сторону трапеции, нарисованной на отдельном листе. Данное расстояние откладываем на каждой стороне нарисованных треугольников. Полученные точки соединяем. Боковые грани трапеции готовы. Остается только нарисовать верхнее и нижнее основания пирамиды. В данном случае это подобные многогранники - квадраты. К верхнему и нижнему основаниям первой трапеции дорисовываем квадраты. На чертеже изображены все части, которые имеет пирамида. Развертка практически готова. Остается только дорисовать соединительные клапаны на сторонах меньшего квадрата и одной из граней трапеций.

Завершение моделирования

Перед склеиванием объемной фигуры чертеж по контуру вырезают ножницами. Далее развертку аккуратно сгибают по начерченным линиям. Крепежные клапаны заправляем внутрь модели. Их смазываем клеем и прижимаем к граням пирамиды. Модели даем высохнуть.

Изготовление разных моделей многогранников

Выполнение объемных моделей геометрических фигур - увлекательное занятие. Чтобы его досконально освоить, следует начинать с выполнения самых простых разверток. Постепенно переходя от простых поделок к более сложным моделям, можно приступать к созданию самых замысловатых конструкций.

Для изготовления кожухов машин, ограждений станков, вентиляционных устройств, трубопроводов необходимо из листового материала вырезать их развертки.

Разверткой поверхности многогранника называют плоскую фигуру, полученную при совмещении с плоскостью чертежа всех граней многогранника в последовательности их расположения на многограннике.

Чтобы построить развертку поверхности многогранника, нужно определить натуральную величину граней и вычертить на плоскости последовательно все грани. Истинные размеры ребер граней, если они спроецированы не в натуральную величину, находят способами вращения или перемены плоскостей проекций (проецированием на дополнительную плоскость), приведенными в предыдущем параграфе.

Рассмотрим построение разверток поверхности некоторых простейших тел.

Развертка поверхности прямой призмы представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - прямоугольников и двух равных между собой многоугольников оснований. Для примера взята правильная прямая шестиугольная призма (рис. 176, а). Все боковые грани призмы - прямоугольники, равные между собой по ширине а и высоте Н; основания призмы - правильные шестиугольники со стороной, равной а. Так как истинные размеры граней нам известны, нетрудно выполнить построение развертки. Для этого на горизонтальной прямой последовательно откладывают шесть отрезков, равных стороне основания шестиугольника, т. е. 6а. Из полученных точек восставляют перпендикуляры, равные высоте призмы Н, и через конечные точки перпендикуляров проводят вторую горизонтальную прямую. Полученный прямоугольник (Н х 6а) является разверткой боковой поверхности призмы. Затем на одной оси пристраивают фигуры оснований - два шестиугольника со сторонами, равными а. Контур обводят сплошной основной линией, а линии сгиба - штрихпунктирной с двумя точками.

Подобным образом можно построить развертки прямых призм с любой фигурой в основании.

Развертка поверхности правильной пирамиды представляет собой плоскую фигуру, составленную из боковых граней - равнобедренных или равносторонних треугольников и правильного многоугольника основания. Для примера взята правильная четырехугольная пирамида (рис. 176, б). Решение задачи осложняется тем, что неизвестна величина боковых граней пирамиды, так как ребра граней не параллельны ни одной из плоскостей проекций. Поэтому построение начинают с определения истинной величины наклонного ребра SA. Определив способом вращения (см. рис. 173, в) истинную длину наклонного ребра SA, равную s"a` 1 (рис. 176, б), из произвольной точки О, как из центра, проводят дугу радиусом s"a` 1 . На дуге откладывают четыре отрезка, равные стороне основания пирамиды, которое спроецировано на чертеже в истинную величину. Найденные точки соединяют прямыми с точкой О. Получив развертку боковой поверхности, к основанию одного из треугольников пристраивают квадрат, равный основанию пирамиды.

Развертка поверхности прямого кругового конуса представляет собой плоскую фигуру, состоящую из кругового сектора и круга (рис. 176, в). Построение выполняют следующим образом. Проводят осевую линию и из точки, взятой на ней, как из центра, радиусом Rh равным образующей конуса sfd, очерчивают дугу окружности. В данном примере образующая, подсчитанная по теореме Пифагора, равна приблизительно

38 мм (L = √l5 2 + 35 2 = √l450 ≈ % 38 мм). Затем подсчитывают угол сектора по формуле

Пирамиды бывают: треугольные, четырехугольные и т. д., смотря по тому, что является основанием - треугольник, четырехугольник и т. д.
Пирамида называется правильной (фиг.286,б), если, во - первых, ее основанием является правильный многоугольник, и, во - вторых, высота проходит через центр этого многоугольника.
В противном случае пирамида называется неправильной (фиг.286,в). В правильной пирамиде все боковые ребра равны между собой (как наклонные с равными проекциями). Поэтому все боковые грани правильной пирамиды есть равные равнобедренные треугольники.
Анализ элементов правильной шестиугольной пирамиды и их изображение на комплексном чертеже (фиг.287) .

а) Комплексный чертеж правильной шестиугольной пирамиды. Основание пирамиды расположено на плоскости П 1 ; две стороны основания пирамиды параллельны плоскости проекций П 2 .
б) Основание ABCDEF - шестиугольник, расположенный в плоскости проекций П 1 .
в) Боковая грань ASF - треугольник, расположенный в плоскости общего положения.
г) Боковая грань FSE - треугольник, расположенный в профильно - проектирующей плоскости.
д) Ребро SE - отрезок общего положения.
е) Ребро SA - фронтальный отрезок.
ж) Вершина S пирамиды - точка в пространстве.
На (фиг.288 и фиг.289) приведены примеры последовательных графических операций при выполнении комплексного чертежа и наглядных изображений (аксонометрии) пирамид.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Одна из сторон основания параллельна оси х 12 .
I. Комплексный чертеж.
I, а. Проектируем основание пирамиды - многоугольник, по данному условию лежащий в плоскости П 1 .
Проектируем вершину - точку, расположенную в пространстве. Высота точки S равна высоте пирамиды. Горизонтальная проекция S 1 точки S будет в центре проекции основания пирамиды (по условию).
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки; для этого соединяем прямыми проекции вершин основания ABCDE с соответствующими проекциями вершины пирамиды S . Фронтальные проекции S 2 С 2 и S 2 D 2 ребер пирамиды изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды (SBА и SAE ).
I, в. Дана горизонтальная проекция К 1 точки К на боковой грани SBА , требуется найти ее фронтальную проекцию. Для этого проводим через точки S 1 и K 1 вспомогательную прямую S 1 F 1 , находим ее фронтальную проекцию и на ней при помощи вертикальной линии связи определяем место искомой фронтальной проекции K 2 точки К .
II. Развертка поверхности пирамиды - плоская фигура, состоящая из боковых граней - одинаковых равнобедренных треугольников одна сторона которых равна стороне основания, а две другие - боковым ребрам, и из правильного многоугольника - основания.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на его горизонтальной проекции. Натуральные размеры ребер на проекциях не выявлены.
Гипотенуза S 2 ¯A 2 (фиг.288, 1 , б) прямоугольного треугольника S 2 O 2 ¯A 2 , у которого большой катет равен высоте S 2 O 2 пирамиды, а малый - горизонтальной проекции ребра S 1 A 1 является натуральной величиной ребра пирамиды. Построение развертки следует выполнять в следующем порядке:
а) из произвольной точки S (вершины) проводим дугу радиусом R , равным ребру пирамиды;
б) на проведенной дуге отложим пять хорд размером R 1 равным стороне основания;
в) соединим прямыми точки D, С, В, А, Е, D последовательно между собой и с точкой S , получим пять равнобедренных равных треугольников, составляющих развертку боковой поверхности данной пирамиды, разрезанной по ребру SD ;
г) пристраиваем к любой грани основание пирамиды - пятиугольник, пользуясь способом триангуляции, например к грани DSE .
Перенос на развертку точки К осуществляется вспомогательной прямой с помощью размера В 1 F 1 , взятого на горизонтальной проекции, и размера А 2 К 2 , взятого на натуральной величине ребра.
III. Наглядное изображение пирамиды в изометрии.
III, а. Изображаем основание пирамиды, пользуясь координатами согласно (фиг.288, 1 , а).
Изображаем вершину пирамиды, пользуясь координатами по (фиг.288, 1 , а).
III, б. Изображаем боковые ребра пирамиды, соединяя вершину с вершинами основания. Ребро S"D" и стороны основания C"D" и D"E" изображаем штриховыми линиями, как невидимые, закрытые гранями пирамиды C"S"B" , B"S"A" и A"S"E" .
III, e. Определяем на поверхности пирамиды точку К , пользуясь размерами у F и х K . Для ди-метрического изображения пирамиды следует придерживаться той же последовательности.
Изображение неправильной треугольной пирамиды.

Дано:
1. Основание расположено на плоскости П 1 .
2. Сторона ВС основания перпендикулярна оси X .
I. Комплексный чертеж
I, а. Проектируем основание пирамиды - равнобедренный треугольник, лежащий в плоскости П 1 , и вершину S - точку, расположенную в пространстве, высота которой равна высоте пирамиды.
I, б. Проектируем ребра пирамиды - отрезки, для чего соединяем прямыми одноименные проекции вершин основания с одноименными проекциями вершины пирамиды. Горизонтальную проекцию стороны основания ВС изображаем штриховой линией, как невидимую, закрытую двумя гранями пирамиды ABS , ACS .
I, в. На фронтальной проекции A 2 С 2 S 2 боковой грани дана проекция D 2 точки D . Требуется найти ее горизонтальную проекцию. Для этого через точку D 2 проводим вспомогательную прямую параллельно оси х 12 - фронтальную проекцию горизонтали, затем находим ее горизонтальную проекцию и на ней, при помощи вертикальной линии связи, определяем место искомой горизонтальной проекции D 1 точки D .
II. Построение развертки пирамиды.
Натуральные размеры сторон основания выявлены на горизонтальной проекции. Натуральная величина ребра AS выявлена на фронтальной проекции; натуральной величины ребер BS и CS в проекциях нет, величину этих ребер выявляем путем вращения их вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости П 1 проходящей через вершину пирамиды S . Новая фронтальная проекция ¯C 2 S 2 является натуральной величиной ребра CS .
Последовательность построения развертки поверхности пирамиды:
а) вычерчиваем равнобедренный треугольник - грань CSB , основание которого равно стороне основания пирамиды СВ , а боковые стороны - натуральной величине ребра SC ;
б) к сторонам SC и SB построенного треугольника пристраиваем два треугольника - грани пирамиды CSA и BSA , а к основанию СВ построенного треугольника - основание СВА пирамиды, в результате получаем полную развертку поверхности данной пирамиды.
Перенос на развертку точки D выполняется в следующем порядке: сначала на развертке боковой грани ASC проводим линию горизонтали при помощи размера R 1 а затем определяем на линии горизонтали место точки D при помощи размера R 2 .
III. Наглядное изображение пирамиды е фронтальной диметрической проекции
III, а. Изображаем основание А"В"С и вершину S" пирамиды, пользуясь координатами согласно (